Minkowskiの行列式定理

数学

定理
$n \times n$ 正定値実対称行列 $A,B$ に対して，次の不等式が成り立つ．
\[
\det(A+B)^{1/n} \geq \det A^{1/n} + \det B ^{1/n}
\]

以下の行列式の特徴づけから従う．

補題
$n\times n$ 正定値実対称行列 $M $ に対し，次の等式が成り立つ．
\[
\inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(MX) = n \det M^{1/n}
\]
ここで， $X \succ O$ は $X$ が正定値実対称行列という意味である．

これを認めれば，
\[
\begin{align}
n \det(A+B)^{1/n} &= \inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}((A+B)X) \\
&\geq \inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(AX) + \inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(BX) \\
&= n \det A^{1/n} + n \det B^{1/n}
\end{align}
\]
となるので，両辺を $n$ で割れば定理が得られる．

上の補題を示すには，Lagrangeの未定乗数法を使えばよい．$\det X = 1 \iff \log\det X = 0$ に注意する．$\lambda \in \mathbb{R}$ を未定乗数として，最適化問題 $\inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(MX)$ のラグランジアンは
\[
L(X, \lambda) = \mathrm{tr}(MX) - \lambda \log\det X
\]
と書ける． $\log\det X$ の微分は $X^{-1}$ なので，
\[
\frac{\partial L}{\partial X} = M - \lambda X^{-1} = 0
\]
より，最適解は $X = \lambda M^{-1}$と書ける．制約 $\det X = 1$ より，$\lambda = \det M^{1/n}$．これを目的関数に代入すると，
\[
\mathrm{tr}(MX) = \det M^{1/n} \cdot \mathrm{tr}(I_n) = \det M^{1/n} \cdot n
\]
となり，証明完了．

補足

  • $A, B$は半正定値でも同じ不等式が成り立つ．（$A + \varepsilon I_n$, $B + \varepsilon I_n$に上の定理を使い，$\varepsilon \to +0$ とした極限を取ればよい）
  • Minkowskiの定理は，測度に関するBrunn-Minkowskiの定理の特殊ケースである．

大学生協電子マネーが想像以上の惨状だった

ボストンから帰国して，京大で非常勤研究員をやっています．久々に大学生協に加入したのですが，何やら自分が京大にいた頃とは違って，今は専用アプリを使って大学生協電子マネーで決済するようになっているようです．早速利用しようとしたのですが… これが想像以上の💩でした…

ちなみに，この電子マネーは曰く付きで，一斉導入時には食堂に大混乱を引き起こし，ニュースになったほどでした．

www.j-cast.com

しかし今回は食堂で電子マネーを使う以前の，アプリ利用登録でのトラブルです．

登録完了のメールが来ない

生協店舗で加入手続をしたら，1週間から10日程度でアプリ登録準備が完了した旨のメールが来ると言われました．ところがこれが待てど暮らせど来ない．この間，生協の割引は一切使えず，非組合員と同じ価格で利用しなければならず，加入した意味がありません．

2週間経っても何も来ないので，組合員センターに連絡したら，なんと登録準備は完了しているとのこと．メールアドレスも正しく登録されており，どうもシステム側がメールの送信に失敗したらしい…

サインインができない

とりあえず登録は済んでいるようなので，気を取り直してアプリをダウンロード．登録したメールアドレスの認証，パスワード設定，さらに2段階認証のSMS認証まで設定し，ようやく登録終了．やや面倒だがそこまで大きな問題はありません．ところが，いざ，アプリの「サインイン」を押すと…

何だこれ．アプリを再起動してもずっとこの画面．

Googleで検索すると，何と初回は「univcoopマイポータル」にアプリ以外のブラウザでログインしないとアプリからサインインできないらしい．

既に訳が分かりませんが，とりあえずunivcoopポータルのURLをスマホのブラウザに入力すると，何もしてないのにログイン完了．そういえば一瞬アプリがwebviewを開いておそらくログイン試行していたので，セッションだけは残っていたようです．しかも，肝心のunivcoopポータルで特にやることはなく，アプリに戻ると何故かサインインできるようになるという謎仕様．

ど　う　し　て　こ　う　な　っ　た

つまりこういうこと．下の赤の部分でアプリ外に出なければならず，初見殺しとなっています．

flowchart TD
    classDef red fill:#ed2633,stroke:#000,stroke-width:2px,color:#fff
    v1[生協店舗で加入申し込み] --> v2[登録完了メールが届く]
    v2 --> v3[アプリをダウンロード]
    v3 -- アプリを開く --> v4[サインアップ]
    v4 -- アプリを離れてブラウザを開く --> v5[univcoopポータルにログイン]:::red
    v5 -- アプリに戻る --> v6[サインイン]
    v6 --> 完了


生協アプリのPlayストアレビューは☆1台の惨状ですが，サインインはかなりの人が共通に躓いている模様．


一連の流れの💩な点としては，

  • アプリ内でユーザー登録〜サインインが完結せず，何故かunivcoopポータルに別画面でログインが必要という謎仕様．ログイン情報は一緒なのにアプリ内でなぜ完結できなかったのか．
  • サインイン失敗時のエラーメッセージに情報が無さすぎて，ユーザーがunivcoopポータルの存在に気づかない．せめてunivcoopポータルへ誘導すれば，まだマシだった気がする．

他にも細かいイライラが溜まる

まぁログインだけでよくここまで意味不明な仕様にできたなと思う訳ですが，アプリ自体，全体的に作り込みが甘い気がします．

  • クレジットカードでチャージする際，謎のエラーが頻発．しかもエラーのたびにカード番号から全て入力し直し．さらに，カードの保存は出来ず，チャージのたびに毎回手で入力する必要がある．もちろん，カメラによる入力や自動補完は効かない．
  • 食堂の騒動のときも言われていたが，アプリ起動から支払い用バーコードの表示までが妙に遠い．トップに「電子組合員証」や「生協ホームページ」へのボタンは要らないので，さっさと支払いできるようにした方が良い．昼休みの食堂のようにスピードが求められる場面をあまり想定できていないように見える．
    下書き時点ではトップに支払いバーコードがなかったのですが，2023年3月20日の更新により改善されました．



そもそも生協電子マネーって利用者にメリットないよね

これはアプリの問題というより，今回の生協電子マネー導入全体に関わる話ですが，そもそも電子マネー自体に利用者側のメリットがまるで感じられません．

  • 以前は，生協加入すると食堂や書店での価格が割引価格になったが，生協電子マネー導入後は，割引分を生協電子マネーの残高として還元される形に．つまり，従来は現金で還元されていた分が，生協でしか使えない電子マネーに変換された訳なので，純粋に改悪．
  • 還元先が電子マネーなので，アプリが利用可能になるまでの間は割引が一切受けられない．以前は紙かシールでの組合員証が加入時に発行されたので，これをレジで提示すれば即座に割引が受けられた．
  • 学生証に電子マネーが内蔵されていた頃は，レジで素早くチャージできていた．ところが，新システムではチャージはアプリかコンビニか店頭の専用端末でしか不可能．レジで残高不足に気づいた場合は，現金で支払う他なく，やはり割引は受けられない．

とにかく割引したくない！という強い意志を感じますね．おそらく，生協事業連合側としては，現金収入を増やせるメリットがあるのでしょうが，それって利用者側から見たメリットではないですよね．そもそも，生活協同組合なんだから，組合員の視点をもっと大事にしてくれ…

ボストン・MIT Tips集

ボストン

2年間のボストン生活を振り返ってみて，ここはこうした方が良かったな〜とか，これはオススメ！というものが結構あったので，今後ボストンで暮らす人の参考に書いておきます．自分はMITへ通勤してたので，どちらかというとケンブリッジ市の情報ですが．

どこに住んでた？

Alewifeというred lineの北の終点に住んでました．MITまではred lineで15分ほど．大型のApartment complexが立ち並ぶエリアで，日本人もかなり住んでます*1．徒歩15分程度にはfresh pond mallがあり，Traders Joe'sやWhole foods, TJ-Maxxがあるので買い物は楽です．

他にMITの周りの人だとCentralかPoterに住んでる人が多かったです．Kendall SqはMITに近いけどかなり高い印象．

物件探しは定番ですがボストンエイブルにお世話になりました．
www.able-nw.com

アメリカのapartment complexは立派に見えても，本体は木造の場合があるので，結構上階の音が響きます．気になる人は最上階を確保すべし．

参考：
tasusu.hatenablog.com

スーパーはTrader Joe'sとStar Marketがオススメ

スーパーはTrader Joe'sとStar Marketに行っていました．Trader Joe'sはパンと冷凍食品が良いです．アメリカの食パンは日本と違って不味いのですが，多くの人と同様，我が家でもFrench Briocheに落ち着きました．

参考：
gogouslife.com

冷凍食品も炒飯やシュウマイなど色々なバラエティがあり，日本人好みの味が多い印象です．最近は日本のおかき詰め合わせすら売っており，実は日本企業と提携しているのでは？という気がします．


Star Marketは野菜や肉が安く大量に売っているので，まとめ買いに良いです．日本の食材は少ないですが，一応大根と白菜もあります．Porter Sqの店舗が一番近いのでよく行ってました．何故かしょっちゅう買い物かごのストックが切れてる店舗でしたが・・・．

その他：

  • 日本のシャウエッセンに非常に近いウィンナーがUncured Smoky Maple Sausage．Whole foodsで売ってます．
  • 牛乳は2%が一番日本のやつに近い気がする．Whole milkはやや脂肪分が高い？
  • 日本の調味料などはCentralのH-martで大概揃う．Coolidge CornerとArlingtonに日系スーパーのMaruichiがありますが，住んでる場所からはどちらも遠いので，結局ほとんど行きませんでした．

日用品はamazonよりtarget

入居したらハンガーやカーテンなどの日用品を買うと思います．自分はamazonで揃えましたが，targetのroom essentialsで揃えた方が良かったなと思います．
www.target.com

全体的にtargetの方が安くてちょうどいい数量なものが多い一方，amazonは高級すぎるか量が多すぎる印象．クオリティ的にも数年の滞在ならtargetで十分です．その後も日用品は結構targetで買ってました．amazonはNishiki米などの定期購入に使ってました．

その他：

  • Targetの買い物はTarget circleに入ると結構ポイント還元されます．
  • CVSの割引はメンバーにならないと適用されないので注意．
  • シャワーヘッドを固定から手持ちに取り替えると大変捗ります．

tasusu.hatenablog.com

MIT Tips

ここはMITの人限定ですが，MITには非常に手厚い福利厚生があります．ポスドクでも問題なく使えるのでぜひ活用しましょう．

  • MIT IDにはCharlie cardが内蔵されており，MBTAの電車とバスは乗り放題*2．自分は最初の数ヶ月自腹でMBTA乗ってました．
  • MITACでは映画や野球のチケットが安く買える．オススメはCharles river cruise
  • パートナーが英語を勉強したいという方は，MIT spouses & partners connectがオススメ．無料の英会話に加え，BBQなど各種イベントもあり，全部無料．MITの財力恐るべし．
  • MIT以外の無料の英会話だと，Cambridge市の英会話があります．Central Sq付近でやっているようです．
  • 研究で小腹が空いたらbanana loungeに行くとバナナが貰えます🍌Buld. 16と26の間辺り
  • 帰国のときにMITお土産を買うなら，MIT/Harvard COOPに加入すると10%オフ．加入方法はネットでmembershipを購入するだけで，店頭では氏名を言えばOK．
  • MITは建物の番号が覚えにくいが whereis.mit.eduで調べられます．

*1:後述のボストンエイブルが大量に日本人を斡旋している模様．武田薬品やエーザイなどのオフィスも近くにあるので，そこの駐在員も多い？

*2:ただし雇用の予算の関係で使えない人もいるらしいです…