Minkowskiの行列式定理
定理
$n \times n$ 正定値実対称行列 $A,B$ に対して，次の不等式が成り立つ．
\[
\det(A+B)^{1/n} \geq \det A^{1/n} + \det B ^{1/n}
\]
$n \times n$ 正定値実対称行列 $A,B$ に対して，次の不等式が成り立つ．
\[
\det(A+B)^{1/n} \geq \det A^{1/n} + \det B ^{1/n}
\]
以下の行列式の特徴づけから従う．
補題
$n\times n$ 正定値実対称行列 $M $ に対し，次の等式が成り立つ．
\[
\inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(MX) = n \det M^{1/n}
\]
ここで， $X \succ O$ は $X$ が正定値実対称行列という意味である．
$n\times n$ 正定値実対称行列 $M $ に対し，次の等式が成り立つ．
\[
\inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(MX) = n \det M^{1/n}
\]
ここで， $X \succ O$ は $X$ が正定値実対称行列という意味である．
これを認めれば，
\[
\begin{align}
n \det(A+B)^{1/n} &= \inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}((A+B)X) \\
&\geq \inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(AX) + \inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(BX) \\
&= n \det A^{1/n} + n \det B^{1/n}
\end{align}
\]
となるので，両辺を $n$ で割れば定理が得られる．
上の補題を示すには，Lagrangeの未定乗数法を使えばよい．$\det X = 1 \iff \log\det X = 0$ に注意する．$\lambda \in \mathbb{R}$ を未定乗数として，最適化問題 $\inf_{X \succ O: \det X = 1} \mathrm{tr}(MX)$ のラグランジアンは
\[
L(X, \lambda) = \mathrm{tr}(MX) - \lambda \log\det X
\]
と書ける． $\log\det X$ の微分は $X^{-1}$ なので，
\[
\frac{\partial L}{\partial X} = M - \lambda X^{-1} = 0
\]
より，最適解は $X = \lambda M^{-1}$と書ける．制約 $\det X = 1$ より，$\lambda = \det M^{1/n}$．これを目的関数に代入すると，
\[
\mathrm{tr}(MX) = \det M^{1/n} \cdot \mathrm{tr}(I_n) = \det M^{1/n} \cdot n
\]
となり，証明完了．
補足
- $A, B$は半正定値でも同じ不等式が成り立つ．（$A + \varepsilon I_n$, $B + \varepsilon I_n$に上の定理を使い，$\varepsilon \to +0$ とした極限を取ればよい）
- Minkowskiの定理は，測度に関するBrunn-Minkowskiの定理の特殊ケースである．
