有限体上の線形代数
線形代数の講義で体が主役になることはあまりありません．だいたい R か C くらいを想定しておけば十分です．ところが，有限体上で線形代数を考えると色々と面白いことがあります．そして，組合せ論ではけっこう重要だったりするのです．
さて，次の命題のうち体 F が有限体であっても正しいのはどれでしょうか（ちなみに F=Rの場合はどれも正しい命題です）．以下では，部分空間 $V\subseteq\mathbf{F}^n$ に対して $ V^{\perp} := \{v\in\mathbf{F}^n : v^\top u = 0 \quad (u\in V) \} $ とします．
- $a,b\in\mathbf{F}^n$ に対して $\langle a, b \rangle := a^\top b$ は内積を定める．
- 任意の部分空間 $V$ に対して $V\cap V^{\perp}= \{0\}$ である．
- 任意の部分空間 $V$ に対して $\mathbf{F}^n = V + V^{\perp}$ である．
- 任意の部分空間 $V$ に対して $n = \dim V + \dim V^{\perp}$ である．
答え
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1: 偽．例えば，$\mathbf{F}=\mathbf{F}_2$ （2元体）とし，$a = b = [1,1]^\top$ とすると $a, b \neq 0$ なのに内積は0になってしまい，内積の公理を満たしません．
2: 偽．上と同じ体で $V = \langle [1,1]^\top \rangle$ とすると $V = V^{\perp}$ より直交しません．
3: 偽．上と同じ V で $V + V^{\perp} \neq \mathbf{F}_2^2$．
4: 真．3が成り立たないので意外に感じるかもしれません．$v_1, \cdots, v_k$ を V の基底とし，行列 $A = \begin{bmatrix}v_1 & \cdots & v_k\end{bmatrix}^\top$ を考えます．すると次元定理（これは任意の体で成立します！）により $\mathrm{rank} A + \dim\ker A = n$ となりますが，$\mathrm{rank} A = \dim V$, $\ker A = V^{\perp}$ なので，$n = \dim V + \dim V^{\perp}$ が成立します．
参考文献: Lovász, "Combinatorial Problems and Exercises"
