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たのしい確率 〜2つの封筒問題〜

「2つの封筒問題」という楽しそうな問題を見つけた。

2つの封筒がある。片方の封筒には、もう一方の2倍のお金が入っている(たとえば1万円と2万円など)。プレイヤーはどちらかの片方だけの封筒をもらえる。さらにプレイヤーはどちらか片方の封筒をあけて中身を見て、その上でどちらの封筒を取るか決めることができる。
片方の封筒をあけて中身を見たとき、封筒を変えた方が得か?損か?変わらないか?

Aさんは次のように考えた。開けた封筒に1万円が入っていたとすると、もう一方の封筒には5千円か2万円がそれぞれ確率1/2で入っている。よってもう一方の封筒に入っている金額の期待値は12,500円なので、封筒を変えた方が得。封筒にいくら入っていようと同じ計算ができるので、結局封筒を変えた方が得である
一方Bさんは、どちらの封筒も区別できないのだから、金額が大きいほうの封筒を引く確率は1/2で変わらないと考えた。
AさんとBさんの言い分はどっちが正しいのか?それとも2人とも間違っているのか?

よくある解答

Aさんの言い分で怪しいのは「もう一方の封筒には5千円か2万円がそれぞれ確率1/2で入っている」という仮定だ。これが満たされるのは、実は限定的な状況だけである。例えば封筒に入っている金額のペアが、(5千円,1万円), (1万円,2万円)のどちらかしかなく、しかもどちらのペアが入れられるかは確率1/2で決まると分かっていれば、Aさんの推論は妥当になる。
封筒に入る金額の確率分布が分からないと答えようがない」というのがよくある解答。

確率分布を与えたバージョン

ところが、封筒に入る金額の確率分布を与えてもまだ不思議なことが起きる。以下をルールに追加しよう。

封筒に入る金額は(2n円,2n+1円) (n=0,1,2,…) のどれかで、ペア(2n円,2n+1円)が選ばれる確率はである。

まず、1円が入っていた場合は明らかに封筒を変えた方が得である。次に2n円(n>0)が入っていた場合、ありうるのは(2n-1円,2n円)か(2n円,2n+1円)で、それぞれ(事後)確率は3/5, 2/5である*1。これで期待値を計算すると、円になり、やはり変えた方が得である!

この確率分布があるバージョンでは、変えた方が本当に得なのか分からなかった。誰かいい説明を知ってる方はコメントください。

*1:いま2n円が入っていることが分かっていて、2n円を含む2つのペアは、で分布するから