院試対策3 - むしゃくしゃしてやった，今は反省している日記

複素積分に苦しんでいる。今悩んでいるのはこちら。
$\int_0^\infty \frac{\cos x}{\cosh\pi x}e^{-x^2}dx$
留数定理を使うと思うんだが、 $e^{-x^2}$ の項がうまく処理できないので困っている。

[追記] マグロウヒルを眺めていたら、 $f(z)=\frac{e^{iz}}{\cosh\pi z}e^{-x^2}$ を長方形の積分路で積分すると、うまく分子に $\cos z$ がでることに気がついた。これでいけそうだ。
[追記2] 答えは $e^{-1/4}/2$ 。高精度計算サイトで数値積分してみたら、ぴったり一致したのでたぶん正解！というか便利だな、この計算サイト。

もう一つはこちら。
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2+x^4+\cdots+x^{2m}}$
こっちは留数定理でやると計算が悲惨なことになるので、実積分でいけるのかもしれない。