有限体上の線形代数
線形代数の講義で体が主役になることはあまりありません．だいたい R か C くらいを想定しておけば十分です．ところが，有限体上で線形代数を考えると色々と面白いことがあります．そして，組合せ論ではけっこう重要だったりするのです．
さて，次の命題のうち体 F が有限体であっても正しいのはどれでしょうか（ちなみに F=Rの場合はどれも正しい命題です）．以下では，部分空間 $V\subseteq\mathbf{F}^n$ に対して $ V^{\perp} := \{v\in\mathbf{F}^n : v^\top u = 0 \quad (u\in V) \} $ とします．
- $a,b\in\mathbf{F}^n$ に対して $\langle a, b \rangle := a^\top b$ は内積を定める．
- 任意の部分空間 $V$ に対して $V\cap V^{\perp}= \{0\}$ である．
- 任意の部分空間 $V$ に対して $\mathbf{F}^n = V + V^{\perp}$ である．
- 任意の部分空間 $V$ に対して $n = \dim V + \dim V^{\perp}$ である．
答え
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1: 偽．例えば，$\mathbf{F}=\mathbf{F}_2$ （2元体）とし，$a = b = [1,1]^\top$ とすると $a, b \neq 0$ なのに内積は0になってしまい，内積の公理を満たしません．
2: 偽．上と同じ体で $V = \langle [1,1]^\top \rangle$ とすると $V = V^{\perp}$ より直交しません．
3: 偽．上と同じ V で $V + V^{\perp} \neq \mathbf{F}_2^2$．
4: 真．3が成り立たないので意外に感じるかもしれません．$v_1, \cdots, v_k$ を V の基底とし，行列 $A = \begin{bmatrix}v_1 & \cdots & v_k\end{bmatrix}^\top$ を考えます．すると次元定理（これは任意の体で成立します！）により $\mathrm{rank} A + \dim\ker A = n$ となりますが，$\mathrm{rank} A = \dim V$, $\ker A = V^{\perp}$ なので，$n = \dim V + \dim V^{\perp}$ が成立します．
参考文献: Lovász, "Combinatorial Problems and Exercises"
数学協働プログラムシンポジウム『世界は計算！されている』に行ってきた
数学協働プログラムシンポジウム『世界は計算！されている』 に行ってきました．数学の一般講演イベントは珍しい気がしますね．全部は書ききれないので，個人的に面白かったところだけ感想を書いていきます．
シンポジウムは桜井進さんのオーガナイズで進行．まずは，桜井さんの15分ほどのKeynote．タイトルは「世界は数学でできている」．普通のプレゼンなのかなと思ったら，いきなり会場が暗くなり，音響と共に歴代の数学者が次々に現れる動画が流れ始めたので，度肝を抜かれました．プラネタリウムの数学版（？）と言ったらいいのか，桜井さんのナレーションとともに数学の美しさを動画形式で解説する感じでした．なるほど，これがサイエンス・ナビゲーターの手法かぁと驚きました．
講演の最後は森重文教授．RIMSにいた頃に1回だけ新入生歓迎会で話したことがあります．今回の講演は森先生の一般向けの話を聞きたくて行ったといっても過言ではありません．いろいろお話されていたのですが，中でも数学の美についてバックミンスター・フラー（建築家）とヴェイユ（数学者）の言葉を比較して語っていたのが印象的でした．フラーは「自分の作品を美しくしようと思ったことはないが，作品が美しくなかったら何か間違っているということだ」（うろ覚え）と言い，ヴェイユも「数学の美は定義できないが，論文を見ればそれがあるかないかは分かる」と言ったそうです．定義できないけれど，美しいかそうでないかは分かってしまう，これが数学の美であるらしい． 講演の最後には，モネの印象・日の出を引き合いに出して美についてお話されていました．そういえば，RIMSの新入生歓迎会でも絵画鑑賞が趣味と仰っていたなぁと，ふと思い出しました．
（このもやもやっとした感じを初めて絵に描こうと思ったのがすごいらしい・・・）
講演の後はTVでもおなじみ秋山仁教授のデモンストレーション．昨年，理科大に数学体験館というのをオープンしたそうで，今回はその展示からとっておきのものをセレクトして実演してくださいました．助手の統数研の方との軽妙なトークも面白かったです．
会場には予想以上に女性や親子連れも多く，よく聞く「静かな数学ブーム」っていうのもあながち外れていないのかなぁと感じました．自分も訳あって，一般向けという設定で自分の研究を話す機会が最近あったのですが，かなり苦労しました．今回の先生方のデモやプレゼン手法は参考にしていきたいところです．
